A equação mais bonita de todas!

Dizem que a equação abaixo é a mais linda já descoberta:

\displaystyle e^{i\pi}+1=0

Se é linda ou não, eu não sei… cada um tem lá os seus fetiches, mas que é impressionante, ahhh, isso é… Repare… O valor e (chama-se “neperiano”) é transcendental (ou seja, é uma sequência de números sem fim: e = 2.718281828…), o valor π é outro velho conhecido da mesma laia. e i é uma raiz quadrada de um valor negativo!!! Como é que esse troço pode ser somado a 1 e obter zero como resposta?

Tudo começou com um triângulo

Para começar a história sobre a esquisitice acima, e nosso modelamento de fenômenos físicos, é necessário entender algumas coisas: Principalmente trigonometria (do grego, trigonón [triângulo] e metrós [medida], é a medição das relações de um triângulo retângulo) e logaritmos (também o grego: logos [estudo] e arithmós [número, que é a mesma raiz da palavra aritmética] — o sentido aqui é “o estudo das relações entre números”). A necessidade dos logaritmos ficará evidente logo…

Quanto a trigonometria, as relações entre os lados de um triângulo retângulo podem ser representadas através de outra figurinha geométrica elementar e cíclica. O círculo!.

Círculo trigonométrico, onde o raio é igual a 1...
Círculo trigonométrico, onde o raio é igual a 1…

Temos ai um vetor unitário (tamanho igual a 1, sempre) de coordenadas (\cos t, sen t). Num triângulo retângulo a relação do lado projetado no eixo x (o “cateto adjacente”) e o segmento de reta entre a origem do sistema de coordenadas do plano cartesiano e a borda da circunferência (“hipotenusa”), é chamado de cosseno do ângulo t formado entre o eixo x e o segmento de reta (o raio). A projeção no eixo y (“cateto oposto”) é o seno do ângulo… Se fizermos o ângulo variar de 0 até 2π, o ponto (x,y) ficará girando no trajeto da circunferência e, com isso, podemos obter as “formas de onda” características da variação dessas projeções:

Seno e cosseno.
Seno e cosseno.

Sabemos, há muito tempo, que usando cossenos e senos, podemos escrever, algebricamente, quase todas as equações que envolvem algo cíclico. Este é o motivo da trigonometria ser tão importante…

Uma curiosidade: Os nomes “seno” e “cosseno” são traduções erradas de palavras hindus, traduzidas do árabe. O conceito de “seno” e “cosseno” surgiu graças a necessidade de realizar cálculos astronômicos. Esse tipo de coisa: A adoção de um nome com base em um erro de tradução é mais comum do que você pode supor. O próprio uso da variável x, tradicionalmente usada como variável independente em equações, deve-se a uma adaptação da primeira letra da palavra árabe شيء (que significa “coisa” – a primeira “letra” é ش) para a letra grega Χ (parece um ‘xis’, mas é a letra grega “chi”) — veja essa explicação interessante do professor Terry Moore, num TED Talk.

Logarítmos e a multiplicação de valores “difíceis”:

No século XVII um sujeito chamado John Napier formalizou uma maneira de multiplicarmos valores grandes. De família de nobres, Napier começou seus estudos em alguma universidade, mas largou o curso, dedicando-se aos negócios da família. Essencialmente, ele era um fazendeiro com uma paixão pela matemática. E, como fazendeiro, tinha que lidar com cálculos simples, mas trabalhosos para a época… Já que não existiam calculadoras eletrônicas e computadores, a simples multiplicação de dois valores grandes era um troço meio chato de fazer (ainda é! tente multiplica 513267 \cdot 3241687, manualmente!). Napier formalizou (não, ele não descobriu!… Em certo sentido, logaritmos eram conhecidos desde o século XVI A.C, por povos Babilônicos) um método de usar adições para realizar multiplicações…

Tome os valores 10 mil e 100 mil. Ambos podem ser escritos como 10000 e 100000. Multiplicá-los é trivial, mas fazendo manualmente e usando o algoritmo que todos conhecemos e amamos, teríamos algo assim:

      100000
     × 10000
    --------
      000000
     000000
    000000
   000000
+ 100000
------------
  1000000000

É fácil perceber que podemos fazer essa conta de outra maneira, usando expoentes: 10^5 \cdot 10^4 = 10^{5+4} = 10^9. O que fizemos? Transformamos uma multiplicação em uma adição (dos expoentes), certo? Com valores cujos expoentes são inteiros é fácil, mas e quanto aos dois valores que pedi que você multiplicasse? Ora, tudo o que temos que fazer é achar os expoentes, cuja base é 10, que nos dê os dois valores desejados. Obtido isto, podemos simplesmente somar os expoentes e obteremos o resultado. Aproximadamente assim:

\displaystyle \begin{matrix}513267\cdot3241687&\approx\\  10^{5.710343343}\cdot10^{6.510771079}&\approx\\10^{12.221114422}&\approx\\  1.663850961\cdot10^{12}\end{matrix}

O que Naiper fez foi construir tabelas onde poderia consultar os valores apropriados. Isso também levou à criação da régua de cálculo logarítmica, usada por engenheiros até o início dos anos 70, acelerando um bocado as operações de multiplicação (e divisão) de valores “complicados”. O vídeo abaixo é interessante, se você quer entender como as tabelas funcionavam:

E este, sobre a régua de cálculo:

Eu, obviamente, descobri os valores fracionários dos expoentes usando uma calculadora, mas antes delas, eram usadas tabelas, criadas a partir da descoberta de Napier. E, não! Tabelas de logaritmos e réguas de cálculo não são da minha época (velho é a mãe!).

Um valor que acontece em todo lugar, na natureza

A conversa mole sobre logaritmos só serve de contexto histórico e uma curiosidade para esse texto, já que Napier descobriu outras relações interessantes e o neperiano foi nomeado em homenagem a ele…

O neperiano surge, além de relações matemáticas, como uma comprovação de que esse valor ocorre naturalmente em todo lugar para onde se olha. Ele é um valor tão surpreendente quanto π é, para a trigonometria… A ocorrência abundante na natureza dá o nome do tipo de logaritmo cuja base é e de “logaritmo natural”.

Na época de Isaac Newton (século XVIII) o valor e já era conhecido, graças a um sujeito chamado Jacob Bernoulli (que era tarado por séries infinitas), mas a “popularização” e o nome da constante é creditada a Leonhard Euler (fala-se “Óiler“), dai a letra e.

A equação:

Euler percebeu uma relação interessante entre a constante e e a trigonometria:

\displaystyle e^{ix}= \cos x + i\sin x

Explicar de onde ele tirou isso está além do escopo desse texto introdutório. A equação mais bonita da história da matemática é somente um caso especial onde x é igual a π.

A descoberta de Euler nos deu uma maneira resumida de trabalhar com cossenos e senos e, por isso mesmo, com equações que lidam com coisas cíclicas, facilitando tremendamente o cálculo diferencial e o cálculo vetorial, já que

\displaystyle\int e^{ix} dx = -ie^{ix} + C

Repare só que \small{-ie^{ix}=-i(\cos x + i\sin x)=-i^2\sin x - i\cos x=\sin x -i\cos x}. Que é exatamente a integração de \cos x + i\sin x. Ao invés de trabalharmos com duas integrações, fazemos só uma e quase que diretamente, já que:

\displaystyle\int e^x dx = e^x + C

No caso do cálculo vetorial, além dos senos e cossenos, o uso de números complexos nos da uma notação matemática mais algébrica para a especificação de um vetor. O valor \Theta em e^{i\Theta} é o ângulo (em relação ao eixo x) de um vetor unitário (tamanho, ou raio, igual a 1). Então r\cdot e^{i\Theta} (onde r dará uma escala para o vetor unitário) pode muito bem expressar um vetor qualquer numa equação!

Exemplos de ocorrência de e em fenômenos:

Tomemos como exemplo um simples circuito resistivo-capacitivo:

330px-RC_switch.svg

A tensão VC, nos terminais do capacitor, pode ser calculada com a equação abaixo:

\displaystyle V_c=V_0(1-e^{-\frac{t}{\tau}})

Onde \tau=RC é chamada constante de tempo. Esse valor é definido como sendo o equivalente ao tempo necessário para o capacitor atingir 63,2% de sua carga. Olhe o gráfico de VC… temos:

345px-Series_RC_capacitor_voltage.svg

Repare que no intervalo entre 0 e τ temos praticamente uma reta. Dai para frente o capacitor está praticamente completamente carregado. Então os valores de RC são escolhidos com base neste valor.

Mas, por enquanto, isso é apenas um detalhe… O importante aqui é o valor e, na equação, não acham?

Além de circuitos elétricos, efeitos térmicos obedecem a mesma regra. Essencialmente a variação térmica de um certo material segue a equação:

\displaystyle \Delta T=T_0e^{-\frac{t}{\tau}}

Onde τ também é uma constante de tempo que depende do material e da resistência da transferência de calor…

Essas potências de e podem ser entendidas como o comportamento natural desses fenômenos, mas, às vezes, usamos e para denotar a característica cíclica ou vetorial da grandeza. É o caso, por exemplo da transformação de Fourier, que falei neste texto:

\displaystyle \hat{f}(\xi)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-2\pi ix\xi}dx

A equação acima obtém uma função “em função” da frequência ξ a partir de uma função “em função” do tempo x. A relação disso com senos e cossenos é insinuada pelo valor -2πixξ, no expoente de e. E, não é à toa que transformações de domínio tempo-frequência, e vice-versa, sejam usados na análise de processos, onde o mais comum é usar transformações de Laplace, que, essencialmente, são simplificações da transformação de Fourier:

\displaystyle F(s)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt

Onde s, chamado de “laplaciano”, é uma frequência complexa.

De novo, e está ai… Existem vários exemplos do aparecimento de e na natureza e até mesmo em coisas menos naturais, como finanças, por exemplo!

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