O problema das pizzas – Ou, o problema da ignorância da matemática elementar!?

Bem… não foi surpresa nenhuma pra mim perceber que algumas pessoas não conseguem aplicar conhecimentos fundamentais no dia a dia. Eis um problema (bem simples, que um estudante do ensino fundamental deveria saber resolver, e um adulto também!) que propus, recentemente:

“Você resolveu comprar pizza para a família toda. Uma pizzaria oferece pizzas “médias” com raio de 30 cm e “grandes” com raio de 45 cm, ao preço de R$ 40,00 e R$ 50,00 cada uma, respectivamente. Você compraria duas pizzas médias ou uma grande?”

O detalhe é que o preço é irrelevante no problema. O que se quer saber é qual das duas configurações vai te dar mais pizza para comer: Duas médias ou uma grande?

Como disse, não é surpresa ver que a maioria das pessoas escolhe as duas pizzas médias, achando que terá mais pizza do que uma grande. Infelizmente a geometria plana elementar desmente isso, já que a “quantidade” de pizza é medida pela área da circunferência… Quanto a isso, obviamente o problema considera que uma pizza seja isto:

ISSO é uma pizza!

Fazendo um cálculo rápido, qualquer um pode observar que uma pizza grande, do problema proposto, é 12,5% maior que duas pizzas médias (área da pizza média. 900\pi, área da pizza grande, 2025\pi)! Isso levanta a questão: Será que estou perdendo dinheiro toda vez que compro pizzas? Quando é vantajoso comprar duas médias ao invés de uma grande? Well…

Considere r como sendo o raio da pizza média e R como sendo o raio da pizza grande. Valerá a pena comprar duas pizzas médias ao invés de uma grande se:

\displaystyle 2\pi r^2 > \pi R^2

Ou seja, \frac{R^2}{r^2} < 2 \Rightarrow R < r\sqrt{2} (estou ignorando o valor negativo que satisfaz a inequação por motivos óbvios!) . Isso quer dizer que o raio R tem que exceder menos que 41% do radio r para ser vantajoso comprar duas médias… No exemplo do problema, se a pizza grande tiver menos que 42 cm (30\sqrt{2}\approx42,4), vale à pena comprar duas médias…

Ahhh… Esse tipo de racionalização também deveria ser óbvio para qualquer pessoa que passou por uma escola…